نظریه‌های پر کاربرد در دنیای هوش مصنوعی

نظریه آشوب

کاربرد رایج اصطلاح آشوب به معنای حالتی از بی‌نظمی است. با این حال، در نظریه آشوب این اصطلاح تعریف دقیق‌تری دارد. گرچه که هیچ تعریف ریاضیاتی دقیقی برای آشوب وجود ندارد، اما تعریفی که به‌طور رایج استفاده می‌شود را در ابتداء رابرت ال. دِوانی فرموله کرد. این تعریف می‌گوید: «برای این که یک سامانه دینامیکی به عنوان آشوبناک رده‌بندی شود، باید یکی از سه خاصیت، نسبت به شرایط اولیه حساس باشد، باید از نظر توپولوژیکی متعدی باشد یا باید مدارهایِ متناوبِ چگال داشته باشد را به خود اختصاص دهد.» بر مبنای این تعریف باید بگوییم که نظریه آشوب (Chaos Theory)، شاخه‌ای از ریاضیات است که روی مطالعه سامانه‌های پویای آشوبناک متمرکز است، سامانه‌هایی که حالات بی‌نظم و بدون ترتیبش ظاهراً تصادفی بوده اما در عمل تحت حاکمیت الگوها و قوانین قطعی پنهانی است که به شدت نسبت به شرایط اولیه حساسند. نظریه آشوب شاخه‌ای میان رشته‌ای است که بیان می‌دارد: در سامانه‌های پیچیده با وجود تصادفی بودن ظاهری، الگوها، درون-پیوستگی‌ها، حلقه‌های بازخوردی، تکرار، خودهمانندی، فراکتال‌ها، و خود-سازماندهی وجود دارد. اثر پروانه‌ای، اصل زیربنایی نظریه آشوب بوده و به توصیف این پدیده می‌پردازد که چگونه تغییرات کوچک در یک سامانه قطعی و غیرخطی می‌تواند منجر به اختلافات بزرگی در یکی از حالات بعدی شود (یعنی وابستگی حساس بر روی شرایط آغازین) استعاره‌ای از این رفتار، پروانه‌ای است که در تگزاس بال می‌زند قادر به ایجاد طوفانی در چین است. تغییرات کوچکی در شرایط اولیه، همچون تغییرات ناشی از خطاهای اندازه‌گیری ناشی از گرد کردن اعداد در محاسبات، می‌تواند باعث واگرایی گسترده خروجی‌های چنین سامانه‌هایی شده به گونه ای که پیش‌بینی بلند مدت رفتارشان را در حالت کلی غیرممکن می‌سازد. با وجود اینکه سامانه‌ها قطعی هستند، ممکن است چنین اتفاقی روی دهد. قطعی بودن به این معناست که رفتار آینده اشان از سیر تکاملی منحصر بفردی تبعیت کرده و به‌طور کامل از طریق شرایط اولیه تعیین شده و هیچ نوع از عناصر تصادفی در تعیین آن دخیل نیست. به بیانی دیگر، طبیعت قطعی این سامانه‌ها، باعث پیش‌بینی پذیر شدنشان نیست. به این نوع رفتار آشوب قطعی یا صرفاً آشوب می‌گویند. این نظریه توسط ادوارد لورنتس به این صورت خلاصه شد: «آشوب: هنگامی که حال، آینده را تعیین می‌کند، اما حالِ تقریبی نتواند به‌طور تقریبی آینده را تعیین کند.»

فراکتال

فراکتال از دید هندسی به مفهومی می‌گویند که سه ویژگی، خودهمانندی (self-similar)، پیچیدگی در مقیاس خرد و بعد آن یک عدد صحیح (مثلاً ۲) نباشد را به خود اختصاص دهد. فراکتال (Fractal)، ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر فراکتال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند. فراکتال‌ها یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای هستند و می‌توان استفاده‌های بسیاری از آن‌ها برد.

نظریه اتوماتا

یک ماشین خودکار قرار است که روی تعدادی ورودی از دنباله یا رشته در مراحل زمانی گسسته اجرا شود. در هر مرحله از زمان، ماشین یک ورودی که از مجموعه‌ای از نمادها یا حرف‌ها برداشته شده‌است را، می‌گیرد که به آن الفبا (Alphabet) گفته می‌شود. یک ماشین حاوی مجموعه متناهی از حالت هاست. در هر لحظه از اجرا بسته به نوع ماشین، می‌تواند در یکی یا چند تا از حالت‌هایش باشد. در هر مرحله زمانی، هنگامی که ماشین یک نماد را می‌خواند، بر اساس حالت فعلی و نماد خوانده شده به حالت بعدی پرش یا گذر می‌کند. این تابع روی حالت فعلی و نماد ورودی تابع‌گذار گفته می‌شود. ماشین تا زمانی که یک ورودی کامل خوانده شود ورودی را نماد به نماد در دنباله‌ای می‌خواند و از حالتی به حالت دیگر بر اساس تابع گذار، گذر می‌کند. زمانی که ورودی نهایی خوانده می‌شود، اصطلاحاً ماشین متوقف شده‌است و به این حالت، حالت نهایی می‌گویند. بر اساس حالت نهایی گفته می‌شود که ماشین یک ورودی را قبول یا رد کرده‌است. زیر مجموعه‌ای از حالت‌های ماشین وجود دارد که به عنوان مجموعه حالت‌های مورد قبول تعریف می‌شود. اگر حالت نهایی یک حالت مورد قبول باشد ماشین ورودی را پذیرفته‌است. ددر غیر این صورت ورودی رد می‌شود. به مجموعه‌ای از ورودی‌ها که توسط ماشین پذیرفته می‌شود زبان قابل تشخیص ماشین می‌گویند. نظریه اتوماتا (Automata theory) یا نظریه ماشین‌ها عبارت است از بررسی ریاضی ماشین‌های محاسبه‌گر انتزاعی و توانایی‌های آن‌ها برای حل مسایل. به این ماشین‌های انتزاعی اتوماتا گفته می‌شود. این نظریه بسیار نزدیک به نظریه زبان صوری است. به‌طوری‌که اتوماتا اغلب توسط دسته زبان‌های رسمی قابل تشخیص دسته‌بندی می‌شوند. اتوماتا نقش اساسی در طراحی کامپایلر و تجزیه کردن (parsing) ایفا می‌کند. زبان‌هایی که توسط این ماشین‌ها بررسی می‌شوند زبان‌های فرمال هستند.

نظریه اطلاعات

نظریه اطلاعات (Information theory)، به مقداردهی، ذخیره و انتقال اطلاعات می‌پردازد. این نظریه، مدلی ریاضی از شرایط و عوامل مؤثر در پردازش و انتقال اطلاعات (داده‌ها) به‌دست می‌دهد. تمرکز این نظریه بر محدودیت‌های بنیادین ارسال و پردازش اطلاعات است، و کمتر به چگونگی عملکرد و پیاده‌سازی روش‌های انتقال و پردازش اطلاعات می‌پردازد. پیدایش این نظریه در پی کارهای کلود شانون در 1948 بوده‌است. آنتروپی یک متغیر تصادفی، با اندازه‌گیری احتمالات آن متغیر تصادفی به‌دست می‌آید. مفهوم آنتروپی در طول دهه های گذشته دستخوش تغییرات شده و به کاربردهای مهمی در دیگر شاخه های علوم از جمله فشرده‌سازی داده‌ها، علوم اعصاب ، مهندسی مخابرات و کدگذاری کانال انجامیده است. نظریه اطلاعات مورد استفاده خاص مهندسان مخابرات است، هرچند برخی از مفاهیم آن در رشته‌های دیگری مانند روان‌شناسی، زبان‌شناسی، کتاب‌داری و اطلاع‌رسانی، و علومِ شناختی (Cognitive Sciences) نیز استفاده می‌شود.

نظریه اعداد رایانشی

به مطالعه الگوریتمها برای اجرای رایانش های مرتبط به نظریه اعداد در ریاضیات و علوم رایانه نظریه اعداد رایانشی یا نظریه اعداد الگوریتمی گفته می شود.

نظریه انتخاب اجتماعی

نظریه انتخاب اجتماعی (Social choice theory)  مربوط به چگونگی رابطه فرد و اجتماع می‌باشد. به‌طور خاص می‌توان قلمرو انتخاب اجتماعی را بررسی امکان جمع کردن منافع، ترجیحات، قضاوت‌ها و وضعیت رفاهی فردی برای دستیابی به منافع، ترجیحات و رفاه اجتماعی دانست. نظریه انتخاب اجتماعی یک چارچوب نظری برای اندازه‌گیری سلایق، ارزش‌ها و رفاه به عنوان یک تصمیم جمعی است. نظریه انتخاب اجتماعی از فرموله کردن پارادوکس رای‌گیری کندورسه آغاز گردید.

نظریه بازی

نظریه بازی با استفاده از مدل‌های ریاضی به تحلیل روش‌های همکاری یا رقابت موجودات منطقی و هوشمند می‌پردازد. نظریه بازی، شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است که در علوم اجتماعی و به ویژه در اقتصاد، زیست‌شناسی، مهندسی، علوم سیاسی، روابط بین‌الملل، علوم رایانه، بازاریابی، فلسفه و قمار مورد استفاده قرار می‌گیرد. نظریه بازی در تلاش است تا بوسیله ریاضیات، رفتار را در شرایطِ راهبردی یا در یک بازی که در آن‌ها موفقیتِ فرد در انتخاب کردن، وابسته به انتخاب دیگران می‌باشد، برآورد کند. نظریه بازی تلاش می‌کند تا رفتار ریاضی حاکم بر یک موقعیت راهبردی (تضارب منافع) را مدل‌سازی کند. این موقعیت، زمانی پدید می‌آید که موفقیتِ یک فرد وابسته به راهبردهایی است که دیگران انتخاب می‌کنند. هدفِ نهاییِ این دانش، یافتنِ راه‌بردِ بهینه برای بازیکنان است. در ابتدا نظریه بازی معادل با بازی مجموع-صفر بود، که در آن سود (یا زیان) یک شرکت‌کننده، دقیقاً متعادل با زیان‌های (یا سودهای) سایر شرکت کنندگان می‌باشد و بازیکن‌ها چیزی را به دست می‌آورند که بازیکن دیگری آن را از دست داده باشد. امروزه نظریه بازی یک واژه مادر برای علومی که به تحلیل رفتار منطقی متقابل انسان‌ها، حیوانات و رایانه‌ها می‌پردازند می‌باشد.

نظریه تقریب

در ریاضیات، نظریه تقریب دنبال این است که چگونه یک تابع به بهترین شکل با یک تابع مشابه تقریب زده شود

نظریه ریسمان

نظریه ریسمان (String theory) یک چهارچوب نظری فراهم می‌آورد که در آن ذرات نقطه‌ای فیزیک ذرات با اشیاء یک بعدی به نام ریسمان‌ها جایگزین شده‌اند. این نظریه به توصیف این می‌پردازد که چگونه ریسمان‌ها در فضا منتشر شده و با همدیگر برهم‌کنش می‌کنند. در مقیاس های بزرگتر از ابعاد ریسمان‌ها، ریسمان‌ها شبیه ذرات نقطه‌ای هستند که جرم، بار، و دیگر خواص آنها توسط وضعیت ارتعاشی هر ریسمان مشخص می‌شود. در نظریه ریسمان، یکی از حالت های متعدد ارتعاشی متناظر با گراویتون است؛ ذره ای در مکانیک کوانتومی که نیروی گرانش را حمل می‌کند. لذا نظریه ریسمان به نوعی نظریه گرانشی کوانتوم هم می‌باشد.

نظریه عملگرها

در ریاضیات، مطالعه و نظریه عملگرها (Operator theory) بخشی مرکزی و عمده را در آنالیز تابعی به خود اختصاص می‌دهد. عملگرهای خطی (linear operators) بخش زیادی از نظریه عملگرها را به خود اختصاص می‌دهد. نظریه عملگرهای خطی به دو بخش اصلی تقسیم می‌شود. قسمت اول صرفاً بر اساس خواص جبری عملگرهای خطی بیان می‌شود و قسمت دوم بر اساس خواص عملگری آن‌ها بیان می‌شود.

نظریه کدگذاری

نظریه کُدینگ یا کُدگذاری (با رمزنگاری یا رمزگذاری اشتباه نشود) به بررسی روش‌های کدگذاری اطلاعات می‌پردازد و یکی از موضوعات مهم در بخش‌های مختلف علوم (مثل نظریه اطلاعات، مهندسی برق، ریاضیات و علوم رایانه، انتقال داده) است؛ به این ترتیب که می‌توان با استفاده از آن روش‌های مطمئن برای انتقال داده‌ها طراحی کرد به طوری که تکرارهای بی‌مورد، حذف و خطاها کاهش یابد.

نظریه کنترل

نظریه کنترل شاخه‌ای میان‌رشته‌ای از علوم مهندسی و ریاضیات است که به رفتار سیستم‌های دینامیکی دارای ورودی می‌پردازد. ورودی اعمال شده به یک سامانه، فرمان یا مرجع نامیده می‌شود. هنگامی که قرار است یک یا چند خروجی سامانه، مرجع خاصی را در بازه زمان دنبال کنند، یک کنترل‌کننده (جبران ساز افزوده شده به سامانه اولیه)، ورودی سامانه را به گونه‌ای دستکاری می‌کند تا تغییرات مناسب در خروجی سامانه پدید آیند و رفتار سامانه به رفتار مطلوب کاربر نزدیک و نزدیک تر گردد. معمولاً هدف تئوری کنترل یافتن جواب‌های مناسبی برای اجرای جبران‌سازی بهینه رفتار سامانه توسط کنترل‌کننده می‌باشد، به گونه‌ای که موجب پایداری سامانه و آرامش خروجی یا خروجی‌های آن حول یک نقطه کار و عدم نوسان خروجی‌ها حول این نقطه گردد. در بیشتر مواقع، یک دسته معادلات دیفرانسیل رابطه بین ورودی‌ها و خروجی‌های یک سامانه را تعریف می‌کنند. اگر این دسته معادلات، معادلاتی دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت باشند، می‌توان با محاسبه تبدیل لاپلاس آن‌ها یک تابع تبدیل که توصیف‌کننده رابطه بین ورودی و خروجی‌های سامانه است، را بدست آورد. اگر دسته معادلات دیفرانسیل غیرخطی باشند ولی جواب معینی داشته باشند می‌توان با خطی‌سازی آن‌ها حول یک نقطه کار و مجدداً محاسبه تبدیل لاپلاس، تابع تبدیل سامانه را بدست آورد. تابع تبدیل که تابع سیستم یا تابع شبکه نیز نامیده می‌شود، توصیف ریاضی رابطه بین ورودی و خروجی یک جواب خطی تغییرناپذیر با زمان دسته معادلات دیفرانسیل بیان‌کننده یک سامانه می‌باشد. یکی از روش‌های بیان و درک یک سامانه کنترلی نمایش آن با استفاده از نمودار بلوکی است که در آن رابطه بین ورودی‌ها و خروجی‌ها و همچنین توابع تبدیل به صورت دیداری بیان می‌شود.

نظریه کنترل خطی

 نظریه کنترل به دو شاخه زیر تقسیم می‌شود:

تئوری کنترل خطی: این شاخه مربوط به سیستم‌های ساخته شده از دستگاه‌هایی است که از اصل سوپرپوزیشن پیروی می‌کنند، یعنی تقریباً متناسب بودن خروجی با ورودی. آنها تابع معادلات دیفرانسیل خطی هستند. یک زیر کلاس اصلی سیستم‌هایی است که علاوه بر اینها دارای پارامترهایی هستند که با گذشت زمان تغییر نمی‌کنند که سیستم‌های ثابت زمان خطی (LTI) نامیده می شوند. این سیستم‌ها قابل قبول تکنیک های ریاضی با دامنه فرکانس قدرتمند با عمومیت زیاد ، مانند تبدیل لاپلاس ، تبدیل فوریه ، تبدیل Z ، نمودار Bode ، منبع ریشه و معیار پایداری Nyquist هستند.

نظریه کنترل غیرخطی: این طبقه گسترده‌تری از سیستم‌ها را شامل می‌شود که از اصل سوپرپوزیشن پیروی نمی‌کنند و برای سیستم‌های واقعی تر اعمال می شود زیرا تمام سیستم های کنترل واقعی غیرخطی هستند. این سیستم‌ها اغلب توسط معادلات دیفرانسیل غیرخطی اداره می‌شوند.

نظریه گراف

نظریه گراف شاخه‌ای از ریاضیات است که درباره گراف‌ها بحث می‌کند. این مبحث در واقع شاخه‌ای از توپولوژی است که با جبر و نظریه ماتریس‌ها پیوند مستحکم و تنگاتنگی دارد. نظریه گراف برخلاف شاخه‌های دیگر ریاضیات نقطه آغاز مشخصی دارد و آن انتشار مقاله‌ای از لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی، برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ در سال ۱۷۳۶ است. پیشرفت‌های اخیر در ریاضیات، به ویژه در کاربردهای آن موجب گسترش چشمگیر نظریه گراف شده‌است به گونه‌ای که هم‌اکنون نظریه گراف ابزار بسیار مناسبی برای تحقیق در زمینه‌های گوناگون مانند نظریه کدگذاری، تحقیق در عملیات، آمار، شبکه‌های الکتریکی، علوم رایانه، شیمی، زیست‌شناسی، علوم اجتماعی و سایر زمینه‌ها گردیده‌است.

نظریه گراف مهندسی

گراف هندسی یک گراف است که در آن رأس‌ و یال‌ها با اشیاء هندسی همراه شده‌اند. ساده‌ترین نمونه آن گراف هندسی تصادفی است.

نظریه گره‌ها

مطالعه گره‌های ریاضی در توپولوژی را نظریه گره می‌نامند. در حالی‌که این مفهوم از گره‌هایی که در زندگی روزانه در بند کفش یا طناب ایجاد می‌شود الهام گرفته شده است، اما گره‌های ریاضی با آن‌ها فرق دارند و باز نمی‌شوند. به زبان ریاضی گره دایره خوابیده‌ای در فضای سه بعدی اقلیدسی هروی است که همواره تغییر شکل داده است.