بی‌نهایت چیست و چگونه باید آن‌را تعریف کرد؟

مدتی است که دانشمندان در جست‌وجوی بزرگ‌ترین عدد معنادار جهان هستند، اما هر عددی که پیدا شود، در مقایسه با بی‌نهایت کم اهمیت به نظر می‌رسد. ریاضی‌دان‌ها " بی‌نهایت" را بسیار دقیق تعریف می‌کنند، اما دانشمندان حوزه‌های مختلف همان تعریف بدیهی و قدیمی را ترجیح می‌دهند که می‌گوید: «بی‌نهایت یعنی عددی که محدود و متناهی نیست.» برای آن که درباره بی‌نهایت صحبت کنیم، ابتدا باید راهی برای تعریف بی‌نهایت در ریاضی پیدا کنیم. با این که مفهوم بی‌نهایت برای یونانیان باستان شناخته شده بود و حتا نقش برجسته‌ای در محاسبات اسحاق نیوتون و گوتفرید لیبنیز به مفهوم بی‌نهایت اشاره دارند، اما واقعیت این است که تا اواخر دهه 1800 هیچ تعریف دقیقی از بی‌نهایت وجود نداشت و بی‌نهایت بیشتر مفهومی گسترده و نامشخص داشت و عمدتا به عنوان یک اثر هنری با عملیات ریاضی ویژه و نه مفهومی که ارزش فهمیدن داشته باشد، تعریف می‌شد. در واقع، بیشتر ریاضیدانان قرن نوزدهم، بی‌نهایت را مفهومی مبهم و ناامیدکننده تعریف می‌کردند که هیچ جایگاهی در مباحث جدی ریاضی ندارد و در بهترین حالت، موضوعی است که فیلسوفان باید به آن بپردازند و در موردش بحث کنند. در چنین شرایطی بود که جورج کانتور اولین نشانه‌های اثبات بی‌نهایت را در سال 1874 منتشر کرد. کانتور که متولد روسیه و بزرگ شده آلمان بود، مدرکی معتبر و بحث‌برانگیز ارائه کرد که نه تنها ماهیت بی‌نهایت را تعریف می‌کرد، بلکه نشان می‌داد برخی بی‌نهایت‌ها بزرگ‌تر از بی‌نهایت‌های دیگر هستند. آن‌چه دستاورد کانتور را قابل توجه کرد این بود که او تمامی شواهد را از یک شاخه باستانی و به ظاهر بی‌فایده از ریاضیات که به نظریه مجموعه‌ها مشهور بود به‌دست آورد. 

نظریه مجموعه‌ها

نظریه مجموعه (Set Theory) به ظاهر ساده است، اما ثابت شده که جزو یکی از قدرتمندترین ابزارها در ریاضیات مدرن است. ایده اصلی این تئوری را می‌توان در کارهای ارسطو پیدا کرد که نشان داد اعداد را می‌توان در مجموعه‌هایی گروه‌بندی کرد. می‌توانید اعداد 1،2،3 و 4  را در مجموعه {1,2,3,4} قرار دهید و آن‌را مجموعه A نام‌گذاری کنید. همچنین، می‌توانید حرف دال، ساندویچ ماهی، رمان توماس هاردی ناول و سیاره نپتون را در مجموعه {د، ساندویچ تن، توماس هاردی، نپتون} قرار دهید و آن‌را مجموعه B نام‌گذاری کنید. 
بدون شک تصور می‌کنید، نظریه فوق آن چیزی نیست که شما را تحت تاثیر قرار دهد، اما جالب است بدانید که ما تنها چند قدم با بینشی که بی‌نهایت را نشان می‌دهد، فاصله داریم. دو مجموعه‌ای که در بالا توصیف کردیم را در نظر بگیرید و با هم مقایسه کنید. کدام بزرگ‌تر است، مجموعه A یا مجموعه  B؟ اگر بخواهید تک به تک به آن‌ها نگاه کنید، کار بیهوده‌ای به نظر می‌رسد، مثلاً چگونه می‌توان رمان توماس هاردی را با عدد 3 مقایسه کرد؟ نکته این است که نباید به هر کدام از آن‌ها به عنوان یک عضو خاص نگاه کنید، بلکه باید تعداد عضوهای هر مجموعه را در نظر بگیرید که در این مثال هر دو مجموعه دارای عضوهای یکسان هستند، پس اندازه برابری دارند.  چگونه به این نتیجه‌گیری کلی رسیدیم که هر دو مجموعه 4 عضو دارند؟ حدس ما این است که شروع به شمردن تعداد عضوهای هر مجموعه کرده‌اید تا آن‌ها را با هم مقایسه کنید، اما این کار بسیار ساده و ابتدایی است. فرض کنید که اعداد را نمی‌شناسید و شمردن هم بلد نیستید، حال چگونه می‌توانید این دو مجموعه را مقایسه کنید؟ شاید سوال عجیبی به نظر برسد، اما بخش جالب و قدرتمند تئوری مجموعه‌ها این است که می‌توان آن‌را به کلی از ریاضیات مجزا کرد، به این معنا که به روشی نیاز داریم که بدون توسل به شمارش مجموعه‌ها را مقایسه کنیم.

تناظر یک به یک 

اگر این توانایی را ندارید تا اعلام دارید در هر مجموعه چه تعداد عضو وجود دارد، هنوز هم مقایسه آن‌ها کار ساده‌ای است. تنها کاری که باید انجام دهید این است که نگاهی به مجموعه A بیاندازید و عضوهای آن را با عضوهای مجموعه B مطابقت دهید و این کار را آن‌قدر تکرار کنید که دیگر هیچ عضوی در مجموعه A یا مجموعه B باقی نماند. از چپ به راست می‌‌توانید 1 را به حرف د، 2 را به ساندویچ ماهی، 3 را به رمان توماس هاردی و 4 را به نپتون وصل کنید، بدون آن که اطلاعی در مورد تعداد عضوهای موجود در هر مجموعه داشته باشید. راهکار فوق به شما اعلام می‌دارد هر دو مجموعه اندازه یکسانی دارند. به این روش تناظر یک به یک گفته می‌شود. به احتمال زیاد این سوال در ذهنتان نقش بسته است که چگونه از این روش می‌توان به درک بی‌نهایت رسید. تا به اینجا فرض کردیم شمارش بلد نیستیم، اما چگونه می‌توانیم مجموعه‌ای با عضوهای نامحدود بسازیم؟ مثالی از قدیم به‌نام مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد که شامل تمام اعداد صحیح غیر منفی است که با صفر شروع می‌شود. کاردینالیتی یک اصطلاح ریاضی برای تعداد عناصر یک مجموعه است. بنابراین مجموعه A و مجموعه B هر دو کاردینالیتی 4 دارند، با این حال، مجموعه اعداد طبیعی دارای کاردینالیتی بی‌نهایت است، اما این حرف درست نیست: کاردینالیتی این مجموعه در واقع الف- صفر یا الف-تهی (aleph-null یا aleph-zero) است که کوچک‌ترین نوع بی‌نهایت است. برای آن که بفهمید چرا این بی‌نهایت کوچک‌تر از سایرین است، باید به سراغ حساب ترامنتهایی (ترانسفینی) برویم. لازم به توضیح است الف صفر/تهی (aleph null) عدد اصلی هر مجموعه‌ای است که بتوان آن‌را در تناظر یک به یک با مجموعه اعداد صحیح مثبت قرار داد. با این مقدمه به سراغ مفهوم الف-صفر می‌رویم.

مفهوم ریاضی الف- صفر 

در الف-صفر مجموعه‌ای داریم که متشکل از اعداد طبیعی است. با این تعریف  کدام یک از این دو مجموعه بزرگ‌تر هستند: الف-تهی یا الف-تهی به اضافه 1 (aleph-null یا aleph-null+1)؟ وقتی در مورد بزرگ‌ترین اعداد متنهاهی صحبت می‌کنیم، مفهوم قدیمی " فقط 1 را اضافه کن" دائما مطرح می‌شود و به همین دلیل، همیشه می‌توانید 1 را به یک عدد متناهی اضافه کنید و به مقدار بزرگ‌تری برسید. آیا در مورد الف-صفر هم این مفهوم کاربرد دارد؟ خوب، بیایید ساندویچ ماهی را از مجموعه قبلی قرض بگیریم و آن‌را به مجموعه اعداد طبیعی اضافه کنیم، حالا ما مجموعه‌‌ی الف-صفر به اضافه 1 (aleph-null+1) را داریم. همان‌گونه که اشاره کردیم، تنها روش در دسترس برای مقایسه این دو مجموعه، تناظر یک به یک است. ما ساندویچ ماهی را در ابتدای یک مجموعه می‌گذاریم که آن‌را مجموعه C می‌نامیم، در حالی که مجموعه D، فقط یک مجموعه استاندارد از اعداد طبیعی است. بنابراین مجموعه C این‌گونه خواهد بود ,1,2,3,4,…}ساندویچ ماهی}
و مجموعه D به این صورت است:{0,1,2,3,4,5,…}. ما ساندویچ را به 0، 0 را به 1، 1 را به 2 ، 2 را به 3 و همین‌طور تا به آخر وصل می‌کنیم. با همه این اوصاف، همچنان در هر دو مجموعه عضوهای نامحدود زیادی وجود دارد. در این حالت می‌توانیم تا هر زمانی که می‌خواهیم این تناظر یک به یک را انجام دهیم بدون آن که با کمبود عضو مواجه شویم. این یعنی الف- صفر با الف- صفر بعلاوه ساندویچ ماهی دقیقاً برابر است. این یک نتیجه بسیار عجیب و دور از ذهن است. جورج کانتور وقتی در مورد حساب ترانسفینی (ریاضی ماورای بی‌نهایت) صحبت می‌کرد اظهار داشت: «این حالت را می‌بینم و متوجه این موضوع می‌شویم، اما نمی‌توانم آن‌را باور کنم.» یک سوال دیگر هم هست، کدام مجموعه بزرگ‌تر است،  مجموعه اعداد زوج طبیعی یا مجموعه تمام اعداد طبیعی؟ ذهن محدود ما می‌گوید که به‌طور حتم تعداد اعداد زوج و فرد دو برابر تمام اعداد زوج است، اما تناظر یک به یک نشان می‌دهد از نظر تئوری مجموعه، هر دو مجموعه یکسان هستند. وقتی بی‌نهایت را ضربدر 2 می‌کنید، باز هم به بی‌نهایت می‌رسید.

بی‌نهایت ضربدر بی‌نهایت

حالا به سراغ یک چالش جدی‌تر می‌رویم. تکلیف مجموعه اعداد منطقی، یعنی تمام اعدادی که می‌توانند به صورت کسری از دو عدد صحیح بیان شوند، چه می‌شود؟ ما در مورد مجموعه بی‌نهایت بزرگ {1/1,1/2,1/3,1/4...}، مجموعه بی‌نهایت بزرگ {2/1,2/2,2/3,2/4…} و سایر مجموعه‌هایی که پس از آن می‌آیند صحبت می‌کنیم. یعنی در مورد تعداد نامحدودی از مجموعه‌های نامتنهاهی. می‌توانیم همچنان این تناظر یک به یک بین تمام اعداد طبیعی و تمام اعداد منطقی را با وجود عدد 1 به عنوان شمارنده داشته باشیم.

بی‌نهایت غیرقابل شمارش

تمام مجموعه‌هایی که تاکنون در مورد آن‌ها صحبت کردیم، به عنوان مجموعه‌های قابل شمارش شناخته می‌شوند، به این معنا که کاردینالیتی برابر یا کمتر از مجموعه اعداد طبیعی دارند. اصطلاح قابل شمارش به جورج کانتور و ایده ساده‌ای که داشت باز می‌گردد. مجموعه قابل شمارش به مجموعه‌ای گفته می‌شود که در آن تمام عضوها را می‌توان با یک عدد طبیعی مرتبط ساخت، حتا اگر زمان نامحدودی برای انجام این کار لازم باشد، هر عضو مجموعه قابل شمارش است. پیش‌تر گفتیم که مجموعه اعداد منطقی قابل شمارش هستند، با وجود آن‌که به نظر می‌رسد خیلی بزرگ‌تر از مجموعه اعداد طبیعی هستند. در واقع، ثابت کردیم که بی‌نهایت= 2^ بی‌نهایت است. این‌گونه به نظر می‌رسد که اضافه کردن، ضرب کردن و حتا جذرگیری از اعداد هرگز نمی‌تواند یک عدد بی‌نهایت تولید کند، انجام این عملیات با الف-صفر نیز هرگز شما را به سطح بزرگ‌تر از بی‌نهایت نمی‌رساند. اگر بخواهیم به الف- یک یعنی رده بعدی بی‌نهایت برسیم، باید به یک بی‌نهایت غیرقابل شمارش دست پیدا کنیم. جورج کانتور ظریف‌ترین توضیح را در مورد تعریف مجموعه بی‌نهایت غیرقابل شمارش ارائه داد. 
معروف‌ترین مثال او، مجموعه اعداد واقعی است که شامل تمام اعداد طبیعی، تمام اعداد منطقی و تمام اعداد غیرمنطقی همچون مربع ریشه عدد 2 و اعداد غیرجبری مانند مقادیر pi یا e است. اعداد غیر منطقی و غیرجبری را می‌توان توصیف کرد، اما تنها به صورت یک عدد با تعداد نامحدودی رقم که پس از نقطه یا خط اعشاری ظاهر می‌شوند. 

الف-صفر و فراتر از آن

می‌دانیم که الف-صفر و (حداقل) الف-یک را داریم، در حالی که هر دوی آن‌ها بی‌نهایت هستند، الف-یک در مقایسه با الف-صفر به شکل قابل توجهی بی‌نهایت‌تر است. آیا فقط این دو نوع بی‌نهایت وجود دارند؟ آیا می‌توانیم باز هم پیش برویم به سمت الف- دو، الف-سه و همین طور تا به آخر؟ در واقع امکان این پیشروی وجود دارد، و تنها چیزی که نیاز داریم، یک مفهوم دیگر به‌نام مجموعه‌های توانی است. مجموعه توانی هر عدد N، مجموعه‌ای از تمام زیرمجموعه‌های مجموعه N است. گیج‌کننده به نظر می‌رسد، این‌گونه نیست؟ خوب از یک مثال واقعی استفاده می‌کنیم. فرض کنید در نظر دارید مجموعه توانی مجموعه 3، یا {1,2,3} را حساب کنید. مجموعه توانی شامل تمام زیرمجموعه‌های ممکن است:  مجموعه سه عضوی {1,2,3} ، مجموعه دو عضوی {1,2}، {1,3} و {2,3}؛ مجموعه یک عضوی {1}، {2} و {3}؛ و مجموعه صفر عضوی  {} که در کل می‌شود 8 زیر مجموعه یا همان 2 به توان سه زیر مجموعه در مجموعه توانی 3، در حقیقت تمام مجموعه‌های توانی هر عدد N شامل  2^N عضو هستند. 
با استفاده از منطق اساسی استدلال قطری کانتور (diagonal argument)، می‌توان اثبات کرد کاردینالیتی یک مجموعه توانی برای هر عضو X همیشه بزرگ‌تر از کاردینالیتی یک مجموعه با X عضو است. به این معنا که اگر مجموعه‌ای از تمام اعداد واقعی یا الف- یک را در نظر بگیریم، آنگاه مجموعه توانی الف-یک کاردینالیتی بزرگ‌تری خواهد داشت، یعنی کاردینالیتی آن حداقل باید الف- دو باشد. ما می‌توانیم این کار را تا ابد ادامه دهیم، طوری که مجموعه توانی الف-دو، الف-سه را به ما می‌دهد و مجموعه توانی الف-سه، الف-چهار را به ما می‌دهد و همین‌طور تا به آخر. 
با این تفاسیر چقدر بی‌نهایت‌تر از الف صفر وجود دارد؟ تا نقطه‌ای که کانتور روی این مسئله تحقیق کرده بود، هیچ مجموعه‌ای با یک کاردینالیتی میان مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی وجود ندارد. به عبارت ساده‌تر، اگر اعداد طبیعی الف صفر باشند، در این صورت همه اعداد حقیقی می‌توانند الف یک باشند. تعریف فوق به‌نام فرضیه پیوستار اولین بار در سال 1877 میلادی مطرح شد، اکنون بعد از گذشت 143 سال هنوز هم ریاضی‌دانان سعی می‌کنند صحت یا عدم صحت این فرضیه را به اثبات برسانند.