متغیر تصادفی و توزیع وایبل (Weibull Distribution) چیست؟

توزیع وایبل چیست؟

توزیع وایبل، توزیع احتمالی پیوسته‌ای است که برای مدل‌سازی طول عمر و زمان خرابی به کار می‌رود. این توزیع انعطاف‌پذیری بالایی دارد و می‌تواند طیف وسیعی از رفتارهای خرابی را از جمله خرابی‌های زودهنگام، فرسودگی و خرابی‌های تصادفی را مدل کند.  پارامترهای توزیع وایبل شامل شکل و مقیاس هستند. پارامتر شکل، شکل توزیع را تعیین می‌کند و پارامتر مقیاس، مقیاس توزیع را تعیین می‌کند.  توزیع وایبل در زمینه‌های مختلفی از جمله مهندسی، علوم زیستی و اقتصاد کاربرد دارد. از کاربردهای این توزیع باید در حوزه مهندسی (برای پیش‌بینی عمر مفید قطعات و تجهیزات)، علوم زیستی (برای مدل‌سازی طول عمر موجودات زنده)، اقتصاد (برای مدل‌سازی زمان ورشکستگی شرکت‌ها) و غیره اشاره کرد. این توزیع یکسری مزایای شاخص در اختیار ما قرار می‌دهد که اولین مورد انعطاف‌پذیری بالا است. توزیع وایبل می‌تواند طیف وسیعی از رفتارهای منجر به خرابی را مدل کند. توزیع وایبل به راحتی قابل فهم و استفاده است  که باعث شده در زمینه‌های مختلف کاربرد داشته باشد. با این حال، توزیع وایبل معایبی نیز دارد. اولین مورد تفسیر دشوار است. تفسیر پارامترهای توزیع وایبل دشوار است. توزیع وایبل به پارامترهای خود حساس است. با این حال، توزیع وایبل ابزاری قدرتمند برای مدل‌سازی طول عمر و زمان خرابی است. توزیع وایبل به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x;λ,k)={λk​(λx​)k−1exp[−(λx​)k]0​x≥0,x<0,​

از ویژگی‌های شاخص توزیع وایبل به سه مورد زیر باید اشاره کرد.

•  محدودیت منفی بودن تابع توزیع به اعداد نامنفی.
•  تابع توزیع کاهشی است که نمایانگر کاهش احتمال رخداد با افزایش مقدار متغیر تصادفی است.
•  در صورتی که k=1 باشد، توزیع وایبل تبدیل به توزیع نمایی می‌شود.

توزیع وایبل در بسیاری از حوزه‌های مهندسی و علوم پایه مورد استفاده قرار می‌گیرد و می‌تواند به خوبی برای مدل‌سازی زمان بقا و خرابی در مطالعات پیش‌بینی و تجربی مورد استفاده قرار گیرد.

توزیع وایبل سه پارامتری 

توزیع وایبل سه پارامتری (Three-Parameter Weibull Distribution) یک توزیع احتمالی پیوسته است که براساس تابع توزیع احتمالی وایبل با سه پارامتر اصلی تعریف می‌شود. این توزیع به عنوان یک توزیع انعطاف‌پذیرتر نسبت به توزیع وایبل دو پارامتری (Two-Parameter Weibull Distribution) عمل می‌کند و اجازه می‌دهد تا شکل توزیع بهتر با داده‌ها سازگار شود. تابع توزیع احتمالی توزیع وایبل سه پارامتری به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x;λ,k,γ)={λk​(λx−γ​)k−1exp[−(λx−γ​)k]0​x≥γ,x<γ,​
 

در این تابع،  λ  پارامتر مقیاس، k پارامتر شکل و γ پارامتر تغییر مکان است. پارامتر λ نشان‌دهنده مقیاس توزیع است و مقدار آن باید بزرگتر از صفر باشد. پارامتر k نشان‌دهنده شیب توزیع است و مقدار آن می‌تواند هر عدد حقیقی بزرگتر از صفر باشد. پارامتر γ نیز تغییر مکان توزیع را کنترل می‌کند و مقدار آن می‌تواند هر عدد حقیقی باشد. با تغییر مقادیر این سه پارامتر، توزیع وایبل سه پارامتری می‌تواند انواع مختلفی از توزیع‌ها را نمایش دهد، از جمله توزیع نمایی (k=1)، توزیع ریلی (k<1) و توزیع رایس (k>1). همچنین، با استفاده از پارامتر γ می‌توان تغییر مکان توزیع را نیز تنظیم کرد. توزیع وایبل سه پارامتری می‌تواند در مدل‌سازی مسائل پیچیده‌تر و واقع‌بینانه‌تر مورد استفاده قرار گیرد و امکان تطبیق بهتر با داده‌های واقعی را فراهم می‌کند.

خصوصیات متغیر تصادفی وایبل 

متغیر تصادفی وایبل دارای یکسری خصوصیات شاخص است. اولین مورد خاصیت مقیاس‌پذیری است.: توزیع وایبل با تغییر پارامتر مقیاس لامبدا می‌تواند توزیع‌های با میزان پراکندگی مختلف را نمایش دهد. با افزایش مقدار لامبدا توزیع به سمت رو به رشد و کم‌پراکندگی حرکت می‌کند، در حالی که با کاهش لامبدا توزیع به سمت نزدیکی و بیشترین پراکندگی حرکت می‌کند. مورد بعد تغییر مکان است. پارامتر لامبدا در توزیع وایبل تغییر مکان را کنترل می‌کند. این پارامتر به ما اجازه می‌دهد تا توزیع را به سمت راست یا چپ منتقل کنیم. با افزایش مقدار گاما توزیع به سمت راست منتقل می‌شود و با کاهش گاما به سمت چپ منتقل می‌شود.

پارامتر شکل یا همان k توزیع وایبل تاثیر مستقیم بر شیب منحنی توزیع دارد. با افزایش مقدار k توزیع به شکلی مشابه نمایی و نزدیک‌تر می‌شود. در حالی که با کاهش k توزیع به شکلی مشابه توزیع ریلی و پهن‌تر می‌شود. وقتی که پارامتر شکل کمتر از 1 است، توزیع وایبل به توزیع نمایی همگرا می‌شود. اگر k برابر با 1 باشد، توزیع وایبل به توزیع نمایی با میدانه مقیاس لامبدا همگرا می‌شود. وقتی که k بزرگتر از 1 است، توزیع وایبل به توزیع رایس همگرا می‌شود. متغیر تصادفی وایبل با این خصوصیات، قابلیت مدل‌سازی مسائل متنوعی را در علوم مختلف از جمله مهندسی، علوم پزشکی، علوم اجتماعی و غیره دارد.

توزیع وایبل نمایی شده (Exponentiated Weibull Distribution)

توزیع وایبل نمایی شده (Exponentiated Weibull Distribution) یک توزیع احتمالی پیوسته است که از ترکیب دو توزیع، توزیع نمایی و توزیع وایبل ساخته شده است. این توزیع برای مدل‌سازی داده‌هایی که به طور همزمان خاصیت کاهش تابع توزیع نمایی و شکل توزیع وایبل را دارند، استفاده می‌شود. تابع توزیع احتمالی توزیع وایبل نمایی شده به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x;λ,k,β)=βk​(βx​)k−1exp[−(βx​)k]exp[−(λx​)k]

در این تابع، لامبدا پارامتر مقیاس اولیه توزیع وایبل است که باید بزرگتر از صفر باشد. پارامتر k نشان‌دهنده شکل توزیع وایبل است و می‌تواند هر عدد حقیقی بزرگتر از صفر باشد. پارامتر بتا نیز پارامتر شکل توزیع نمایی است و باید بزرگتر از صفر باشد.

توزیع وایبل نمایی شده می‌تواند به صورتی تغییر کند که شکل توزیع را به سمت توزیع وایبل تنظیم کند و در عین حال خاصیت کاهش تابع توزیع نمایی را حفظ کند. این توزیع می‌تواند در مدل‌سازی مسائلی مانند بررسی عمر قطعات، تحلیل خطاها، مدل‌سازی زمان بقا و غیره مورد استفاده قرار گیرد. به عنوان خلاصه، توزیع وایبل نمایی شده با ترکیب خصوصیات توزیع نمایی و توزیع وایبل، قابلیت مدل‌سازی دقیق‌تر برای داده‌هایی که همزمان خاصیت کاهش تابع توزیع نمایی و شکل توزیع وایبل را دارند، را دارد.

کاربردهای توزیع وایبل چیستند؟

توزیع وایبل در علوم مختلف و در بسیاری از زمینه‌ها بکار می‌رود. اولین مورد علوم پزشکی است. توزیع وایبل می‌تواند در مدل‌سازی زمان بقا برای بررسی عمر بیماران، بررسی عمر قطعات پزشکی و تحلیل خطاها مورد استفاده قرار گیرد. این توزیع می‌تواند به خوبی رفتار کاهش تابع توزیع نمایی و شکل توزیع وایبل را در مورد پدیده‌های پزشکی و بیولوژیکی توصیف کند. در مهندسی، توزیع وایبل به عنوان یک ابزار مفید در مورد مدل‌سازی عمر خطوط لوله، سیستم‌های الکتریکی و مکانیکی، قطعات الکترونیکی و سیستم‌های تولید و مونتاژ استفاده می‌شود. این توزیع می‌تواند به تحلیل رفتار کاهش قطعات و پیش‌بینی عمر آن‌ها کمک کند.

توزیع وایبل می‌تواند در مدل‌سازی رفتار خریداران، تحلیل عملکرد محصولات و پروژه‌ها، مدل‌سازی زمان تحویل و مدیریت زنجیره تأمین مورد استفاده قرار گیرد. به طور مثال، در مدل‌سازی زمان مورد نیاز برای تحویل سفارشات، توزیع وایبل می‌تواند رفتار زمان تحویل را به خوبی توصیف کند. متخصصان علوم اجتماعی می‌توانند از توزیع وایبل در مدل‌سازی رویدادها و فرآیندهای اجتماعی، مدل‌سازی زمان حضور در سیستم‌های صنعتی و خدماتی و غیره استفاده شود. به طور کلی، توزیع وایبل با خصوصیات متنوعی که دارد، ابزاری قوی برای مدل‌سازی رفتار‌های پیچیده و تحلیل داده‌هایی است که به طور همزمان خاصیت کاهش تابع توزیع نمایی و شکل توزیع وایبل را دارند.

مثالی از توزیع وایبل در دنیای مهندسی

یک مثال واقعی استفاده از توزیع وایبل در زمینه مهندسی می‌تواند مربوط به مدل‌سازی عمر خطوط لوله باشد. فرض کنید شرکتی در حوزه نفت و گاز خطوط لوله‌ای را برای انتقال مواد و سوخت‌ها به طول هزاران کیلومتر در مناطق مختلف دارد. عمر مفید این خطوط لوله در طول زمان کاسته می‌شود و نیاز به تعمیر و نگهداری دارند. برای مدل‌سازی طول عمر خطوط لوله و پیش‌بینی زمان تعمیر و نگهداری، توزیع وایبل می‌تواند مورد استفاده قرار گیرد. این توزیع می‌تواند با توجه به خصوصیات خاص خطوط لوله (مانند جنس، سن، شرایط آب و هوایی و استفاده) رفتار کاهش تابع توزیع نمایی را توصیف کند.

با استفاده از داده‌های جمع‌آوری شده در طول زمان، می‌توانیم پارامترهای توزیع وایبل را تخمین بزنیم. پارامتر لامبدا نشان‌دهنده میانگین زمان بقا یا عمر میانگین خطوط لوله است، در حالی که پارامتر K نشان‌دهنده شکل توزیع وایبل و میزان تغییرات در زمان عمر خطوط لوله است. با تحلیل این توزیع، می‌توانیم اطلاعات مفیدی دریافت کنیم، مانند میانگین زمان عمر خطوط لوله، درصد خطوطی که در یک بازه زمانی خاص به تعمیر نیاز دارند، و همچنین اطلاعاتی در مورد تغییرات عمر خطوط لوله در طول زمان.

با استفاده از این اطلاعات، شرکت می‌تواند برنامه‌های تعمیر و نگهداری بهینه را برای خطوط لوله‌ها تدوین کند، زمان تعمیرات پیش‌بینی شده را برنامه‌ریزی کند و از عمر و عملکرد بهتر خطوط لوله‌ها بهره‌برداری نماید. بنابراین، توزیع وایبل در این مثال می‌تواند به ما کمک کند تا عمر خطوط لوله را مدل‌سازی کرده و برنامه‌های تعمیر و نگهداری بهینه را تدوین کنیم.